Понятие о фрактальной размерности. Для того, чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации. Существует три класса фракталов И что с того

Геометрические фракталы

Основными представителями этой группы фракталов являются такие объекты, как: кривая Пеано , снежинка Коха , треугольник Серпинского, пыль Кантора, «дракон» Хартера-Хейтуэя. .. Все они получены путем повторений определенной последовательности геометрических построений с использованием точек и линий. Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры «превратил» линию в набор несвязных точек: брал линию и выносил её центральную треть на определенное расстояние, затем повторял эту процедуру с остальными отрезками. Джузеппе Пеано нарисовал особую линию, используя довольно простой алгоритм: он брал прямую линию, затем заменял её девятью отрезками, каждый из которых затем вновь подвергал этой процедуре и т.д.

Фракталы этой группы самые наглядные. Если проанализировать данные изображения, можно выделить следующие свойства геометрических фракталов:

Снежинка Коха

Каждая сторона делится на три части каждая длиной в 1/3 исходной стороны. Затем пририсовывются три меньших равносторонних треугольника по одному на каждой стороне (на стредней трети). На каждой из полученных 12 сторон пририсовываются по одному ещё меньшему треугольнику (снова на средней трети стороны).

Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть.

Каждый раз число сторон учетверяется. Число сторон можно выразить такой последовательностью:

3, 3*4, 3*4*4, 3* 4*4*4, 3* 4*4*4*4....

Убеждаемся, что число сторон снежинки бесконечно велико.

Снежинка образуется добавлением треугольника к каждой стороне, так что выписанная последовательность даёт иакже и число треугольников, добавляемое на каждом этапе (каждой итерации). Начиная со второго этапа, количество добавляемых треугольников каждый раз учетверяется.

Общую площадь снежинки можно выразить геометрическим рядом

1+ 1/3 + (1/3) * (4/9) + (1/3) * (4/9)*(4/9) + (1/3) * (4/9)*(4/9)*(4/9) + ...
Сумма этого ряда конечна и равна 1,6.

При этом периметр снежинки, напротив, бесконечен.

При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

• С течением времени стремится к бесконечности.
• Стремится к нулю.
• Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.
• Поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу.
Такая последовательность точек называется орбитой при преобразовании

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную.

Первым, кто применил компьютер лдля расчёта фракталов на комплексной плоскости, стал Бенуа Мандельброт. Благодаря этому он впервые открыл нам красоту фракталов.

Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага.

Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.


Следующий способ получить треугольник Серпинского еще больше похож на обычную схему построения геометрических фракталов с помощью замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Здесь на каждом шаге составляющие ломаную отрезки заменяются на ломаную из трех звеньев (она сама получается в первой итерации). Откладывать эту ломаную нужно попеременно то вправо, то влево. Видно, что уже восьмая итерация очень близка к фракталу, и чем дальше, тем ближе будет подбираться к нему линия.


Но и на этом не всё. Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос». С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы.

Суть «игры» такова. На плоскости зафиксирован правильный треугольник A 1 A 2 A 3 . Отмечают любую начальную точку B 0 . Затем случайным образом выбирают одну из трех вершин треугольника и отмечают точку B 1 - середину отрезка с концами в этой вершине и в B 0 (на рисунке справа случайно выбралась вершина A 1). То же самое повторяют с точкой B 1 , чтобы получить B 2 . Потом получают точки B 3 , B 4 , и т. д. Важно, чтобы точка «прыгала» случайным образом, то есть чтобы каждый раз вершина треугольника выбиралась случайно, независимо от того, что было выбрано в предыдущие шаги. Удивительно, что если отмечать точки из последовательности B i , то вскоре начнет проступать треугольник Серпинского. Ниже изображено, что получается, когда отмечено 100 , 500 и 2500 точек.

100, 500 и 2500 точек" align="center" />

Некоторые свойства

Фрактальная размерность log 2 3 ≈ 1,584962 ... . Треугольник Серпинского состоит из трех копий самого себя, каждая в два раза меньше. Взаимное расположение их таково, что если уменьшить клеточки сетки в два раза, то число квадратиков, пересекающихся с фракталом, утроится. То есть N (δ/2) = 3N (δ) . Если сначала размер клеток был 1, а с фракталом пересекалось N 0 из них (N (1) = N 0) , то N(1/2) = 3N 0 , N (1/4) = 32N 0 , ..., N (1/2k) = 3kN0 . Отсюда получается, что N (δ) пропорционально, и по определению фрактальной размерности она равна как раз log 2 3 .
Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Это означает, что в фрактал не влезет ни один, даже очень маленький, кружок. То есть, если отталкиваться от построения первым способом, из треугольника «вынули» всю внутренность: после каждой итерации площадь того, что остается, умножается на 3/4 , то есть становится всё меньше и стремится к 0 . Это не строгое доказательство, но другие способы построения могут только усилить уверенность, что это свойство всё-таки верно.
Неожиданная связь с комбинаторикой. Если в треугольнике Паскаля с 2n строками покрасить все четные числа белым, а нечетные - черным, то видимые числа образуют треугольник Серпинского (в некотором приближении).

Варианты Ковер (квадрат, салфетка) Серпинского.

Квадратная версия была описана Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ему удалось доказать, что любая кривая, которую можно нарисовать на плоскости без самопересечений, гомеоморфна какому-то подмножеству этого дырявого квадрата. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем то же повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д.


Как и у треугольника, у квадрата нулевая площадь. Фрактальная размерность ковра Серпинского равна log 3 8 , вычисляется аналогично размерности треугольника.

Пирамида Серпинского.

Один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского. Строится аналогично с учетом трехмерности происходящего: 5 копий начальной пирамиды, сжатой в два раза, составляют первую итерацию, ее 5 копий составят вторую итерацию, и т. д. Фрактальная размерность равна log 2 5 . У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды.

Губка Менгера.

Обобщение ковра Серпинского в трехмерное пространство. Чтобы построить губку, нужно бесконечное повторение процедуры: каждый из кубиков, из которых состоит итерация, делится на 27 втрое меньших кубиков, из которых выбрасывают центральный и его 6 соседей. То есть каждый кубик порождает 20 новых, в три раза меньших. Поэтому фрактальная размерность равна log 3 20 . Этот фрактал является универсальной кривой: любая кривая в трехмерном пространстве гомеоморфна некоторому подмножеству губки. У губки нулевой объем (так как на каждом шаге он умножается на 20/27 ), но при этом бесконечно большая площадь.

Л
оманной линии:

N– количество отрезков, размерома.

D – «степень изгибания»

N=(1/a)D; S=N*a ; S=(1/a)D-1

К
ривая Коха

2) N=4L=1/3S(4)=4/3

N=16 L=1/9S(16)=16/9

Фрактальная размерность:

D=lg4 /lg3=1.26…

Фрактальная размерность множества

Объем фрактала в своем пространстве вложения всегда равен нулю. Он, однако, может быть отличен от нуля в пространстве меньшей размерности. Чтобы определить размерность этого пространстваD , разобьем всеn -мерное пространство на малые кубики с длиной ребраε и объемомε n - рис.1. ПустьN (ε ) - минимальное число кубиков, которые в совокупности полностью покрывают фрактальное множество, тогда по определению

Существование этого предела означает конечность объема фрактала в D -мерном пространстве: при маломε

и в отличие от привычной размерности D может быть дробной величиной, каковой она чаще всего и является для фрактальных множеств.

Очевидно, что для обычных множеств это определение приводит к хорошо известным результатам. Так для множества N изолированных точек имеемN (ε ) =N и поэтому

Для отрезка достаточно гладкой линии длины L :N (ε ) =L /ε и поэтомуD = 1. Для площадкиS двумерной поверхности:N (ε ) =S /ε 2 иD = 2 и т.д..

Рекурсивный алгоритм построения конструктивных фракталов.

1. Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского - фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Построение

Берётся сплошной равносторонний треугольник, на первом шаге из центра удаляется внутренность срединного треугольника. На втором шаге удаляется три срединных треугольника из трёх оставшихся треугольников и т. д. После бесконечного повторения этой процедуры, от сплошного треугольника остаётся подмножество - треугольник Серпинского.

Построение треугольника Серпинского

Треугольник Серпинского можно также получить по следующему алгоритму:

Взять три точки на плоскости, и нарисовать треугольник.

Случайно выбрать любую точку внутри треугольника, и продвинуться на половину расстояния от этой точки к любой из трёх вершин треугольника.

Отметить текущую позицию.

Повторить с шага 2.

1. Берем обычный треугольник.
2. Вырезаем из него треугольник, вершины которого лежат на серединах сторон исходного. В результате на плоскости получаем три треугольника, площадь каждого из которых в четыре раза меньше площади исходного.
3. С полученными треугольниками проделываем предыдущие манипуляции.

Выглядит процесс так:

1. Интересно, что если в треугольнике Паскаля все нечетные числа окрасить в один цвет, а четные в другой, то образуется треугольник Серпинского.

Здесь биномиальные коэффициенты выписаны по диагонали, в первой заполненной строке и первом заполненном столбце единицы, а в остальных сумма вехнего и левого элемента.

Перейдем к построению. Для нас достаточно выписывать не коэффициенты, а только их четность.

Для начала сделаем размер ячеек в Excel, к примеру 7 на 7 пикселей.

Станем в ячейку B2 , затем выделим область B2:DY129 - для этого нажимаем Ctrl + G и в поле ссылка пишем B2:DY129 .

Теперь в строке формул пишем =ЕСЛИ(ИЛИ(СТРОКА()=2;СТОЛБЕЦ()=2);1;ОСТАТ(A2+B1;2))
и нажимаем Ctrl + Enter, чтобы заполнить подобной формулой всю выделенную область.

Заходим Меню - Условное форматирование и для значения 1 указываем цвет ячейки.

В итоге получаем:

1. Зафиксируем на плоскости 3 вершины треугольника и возьмем еще одну точку.
2. Первую точку получим как середину отрезка между случайно выбранной вершиной и точкой из п.1.
3. Вторую точку получим как середину отрезка между случайно выбранной вершиной и первой точкой.
4. Повторяем процесс много раз.

Можно ипользовать такой макрос:

Public Sub Макрос()

Dim arRange(1 To 3) As Range
Dim tekRow As Integer
Dim tekColumn As Integer
Dim i As Integer
Dim iT As Integer

tekRow = Int(1000 * Rnd) + 1
tekColumn = Int(200 * Rnd) + 1

Set arRange(1) = Cells(1, 1)
Set arRange(2) = Cells(50, 250)
Set arRange(3) = Cells(200, 20)

Cells.Clear

For i = 1 To 20000
iT = (Int(1000 * Rnd) Mod 3) + 1
tekRow = Int((tekRow + arRange(iT).Row) / 2)
tekColumn = Int((tekColumn + arRange(iT).Column) / 2)
Cells(tekRow, tekColumn).Interior.ColorIndex = 5
Next

End Sub

В Викисловаре есть статья «треугольник» Треугольник в широком смысле объект треугольной формы, либо тройка объектов, попарно связ … Википедия

Построение треугольника Рёло Треугольник Рёло[* 1] предста … Википедия

Треугольник Серпинского Треугольник Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского. Построение Берётся сплошной… … Википедия

Ковёр (квадрат) Серпинского Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вац … Википедия

Коврик Серпинского Ковёр Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского. Содержание 1 Построение … Википедия

Ковёр Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского. Содержание 1 Построение … Википедия

Треугольник Серпинского изображение, задаваемое тремя аффинными преобразованиями Фрактальное сжатие изображений это алгоритм сжатия изображений c потерями, основанный на применении систем итерируемых функций (IFS, как правило являющимися… … Википедия

Треугольник Серпинского изображение, задаваемое тремя аффинными преобразованиями Фрактальное сжатие изображений алгоритм сжатия изображений c … Википедия

Множество Мандельброта классический образец фрактала … Википедия

Множество Мандельброта классический образец фрактала Фрактал (лат. fractus дробленый) термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре… … Википедия

Книги

• Математика - это красиво! , Анна Вельтман. О чем эта книга Эта необычная тетрадь покажет вам, что математика может быть красивой, а гармония в изобразительном искусстве основана на числах. На страницах этойграфической тетради, с…
• Сложение однобитных чисел. Треугольник Паскаля, салфетка Серпинского и теорема Куммера , С. Б. Гашков. В книге рассказывается о любопытной связи задачи о сложении чисел в двоичной записи с алгеброй логики, многочленами Жегалкина, треугольником Паскаля, салфеткой Серпинского и теоремой Куммера…