Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

Если прямоугольные параллелепипеды имеют равные основания, то их можно вложить один в другой.

Пусть AG и AP (рис.) два таких параллелепипеда. Рассмотрим два случая.

1. Высоты BF и BN соизмеримы.

Пусть общая мера высот содержится m раз в BF и n раз в BN.

Проведем через точки деления ряд плоскостей, параллельных основанию.

Тогда параллелепипед AG разделится на m, а параллелепипед AP на n равных частей.

Таким образом мы получим:

\(\frac{BF}{BN}=\frac{m}{n}\) и \(\frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{m}{n} \)

Следовательно:

\(\frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{BF}{BN} \)

2. Высоты BF и BN несоизмеримы.

Разделим BN на n равных частей и одну часть отложим на BF столько раз, сколько можно.

Пусть 1/n доля BN содержится в BF более m раз, но менее m+1 раз.

Тогда, проведя попрежнему ряд плоскостей, параллельных основанию, мы разделим пар-д AP на n таких равных частей, каких в пар-де AG содержится более m, но менее m+1.

Следовательно:

прибл.отн. \(\frac{BF}{BN}=\frac{m}{n}\) и прибл.отн. \(\frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{m}{n}\)

Таким образом, приближенные отношения, вычисленные с произвольной, но одинаковой точностью, равны. А в этом и состоит равенство несоизмеримых отношений.

Лемма 2. Объемы прямоугольных параллелепипедов, имеющих равные высоты, относятся как площади их оснований.

Пусть (рис.) P и P 1 два прямоугольных параллелепипеда. Обозначим неравные основания одного из них через a и b, а другого через a 1 и b 1 .

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого высота такая же, как у данных тел, а основанием служит прямоугольник со сторонами a и b 1 .

У параллелепипедов P и Q передние грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут b и b 1 , и следовательно:

Объем P/Объем Q = b/b1

У параллелепипедов Q и P 1 боковые грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут a и a 1 , и следовательно:

Объем Q/Объем P 1 = a/a1

Перемножив равенства и , найдем:

Объем P/Объем P 1 = ab/a 1 b 1

Так как ab выражает площадь основания пар-да P, а a 1 b 1 - площадь основания пар-да P 1 , то лемма доказана.

Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Пусть (рис.) P есть прямоугольный параллелепипед, а P 1 какая-нибудь кубическая единица.

Обозначим площадь основания и высоту первого через B и H, а второго через B 1 и H 1 .

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого площадь основания B 1 , а высота H.

Сравнивая P с Q, а затем Q с P 1 , находим:

Об. P/Об. Q = B/B1 и об. Q/об. P1 = H/H1

Перемножив эти равенства, получим:

Об. P/Об. P1 = B/B1 * H/H1

Отношения, входящие в это равенство есть числа, выражающие объем, площадь основания и высоту данного параллелепипеда в соответствующих кубических, квадратных и линейных единицах. Поэтому последнее равенство можно выразить так:

Число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда, равно произведению чисел, выражающих площадь основания и высоту в соответствующих единицах.

Это выражают сокращенно так: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, т.е.

где под V, B и H разумеются числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту прямоугольного параллелепипеда.

Обозначая буквами a, b и с три измерения прямоугольного пар-да (выраженные в числах), можем написать:

потому что площадь основания выражается произведением двух из этих измерений, а высота равна третьему измерению.

1. Объем куба равен третьей степени его ребра.
2. Отношение двух кубических единиц равно третьей степени отношения соответствующих линейных единиц. Так, отношение м3 к дм3 равно 10 3 , т.е. 1000.

Объем любого параллелепипеда

Лемма. Наклонная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота - ее боковому ребру.

Через какую-нибудь точку a (рис.) одного из боковых ребер наклонной призмы A 1 d проведем перпендикулярное сечение abcde. Затем продолжим все боковые грани вниз, отложим aa 1 =AA 1 и через точку a 1 проведем перпендикулярное сечение a 1 b 1 с 1 d 1 e 1 .

Так как плоскости двух сечений параллельны, то части боковых ребер, заключенные между ними, равны, т.е.
bb 1 = сс 1 = dd 1 = ee 1 = aa 1 = AA 1 .

Вследствие этого многогранник a 1 d есть прямая призма, у которой основанием служит перпендикулярное сечение, а высота (или, что то же самое, боковое ребро) равна боковому ребру наклонной призмы.

Докажем, что наклонная призма равновелика прямой призме.

Для этого предварительно убедимся, что многогранники aD и a 1 D 1 равны.

Основания их abcde и a 1 b 1 с 1 d 1 e 1 равны, как основания призмы a 1 d.

С другой стороны, отняв от обеих частей равенства A 1 A = a 1 a по одной и той же прямой A 1 a , получим aA = a 1 A 1 .

Подобно этому: bB = b 1 B 1 , сС = с 1 С 1 и т.д.

Вообразим теперь, что многогранник aD вложен в a 1 D 1 так, чтобы основания их совпали. Тогда боковые ребра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут.

Поэтому многогранник aD совместится с a 1 D 1 . Значит, эти тела равны.

Теперь заметим, что если от целого многогранника a 1 D , отнимем часть aD , то получим прямую призму. А если от того же многогранника отнимем часть a 1 D 1 , то получим наклонную призму.

Из этого следует, что эти две призмы равновелики, так как объемы их представляют собой разности объемов равных тел.

Теорема. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда прямоугольного, теперь докажем ее для параллелепипеда прямого, а потом наклонного.

1. Пусть (рис.) AC 1 прямой пар-д, т.е. такой, у которого основание ABCD какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани - прямоугольники.

Возьмем в нем за основание грань AA 1 B 1 B. Тогда параллелепипед будет наклонный.

Рассматривая его, как частный случай наклонной призмы, мы, на основании леммы предыдущего параграфа, можем утверждать, что этот пар-д равновелик такому прямому, у которого основание есть перпендикулярное сечение MNPQ, а высота BC.

Четырехугольник MNPQ есть прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов. Поэтому прямой параллелепипед, имеющий это основание должен быть прямоугольным, и, следовательно, его объем равен произведению площади основания MNPQ на высоту BC.

Но площадь MNPQ равна MN * MQ. Значит:

Объем AC1 = MN * MQ * BC

Произведение MQ * BC выражает площадь параллелограмма ABCD. Поэтому:

Объем AC 1 = (площ.ABCD) * MN

2. Пусть (рис.) AC 1 есть пар-д наклонный. Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение MNPQ, а высотой ребро BC.

Но, по доказанному, объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Значит:

Объем AC 1 = (площ.MNPQ) * BC

Если RS есть высота сечения MNPQ, то площадь MNPQ = MQ * RS. Поэтому:

Объем AC1 = MQ * RS * BC

Произведение BC * MQ выражает площадь параллелограмма ABCD. Следовательно:

Объем AC 1 = (площ.ABCD) * RS

Т.е. объем всякого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .

Следствие. Если V, B и H - числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту какого - нибудь паралллелепипеда, то можем написать:

Задача. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна S. Площади диагональных сечений равны S 1 и S 2 . Найти объем параллелепипеда.

Для нахождения объема параллелепипеда нужно найти его высоту Н (рис. 242).

Обозначим длины диагоналей основания через d 1 и d 2 . Тогда

d 1 H = S 1 , d 2 H = S 2 , d 1 d 2 = 2S.

Из этих уравнений находим

$$ \frac{S_1}{H}\cdot \frac{S_2}{H} = 2S, \;\; H=\sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}} $$

Следовательно,

$$ V=S\cdot H = S\sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}=\sqrt{\frac{S\cdot S_1\cdot S_2}{2}} $$

В данном уроке мы поговорим о прямоугольном параллелепипеде. Вспомним некоторые из его свойств. А затем подробно выведем формулы для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. Конспект урока "Объем прямоугольного параллелепипеда" На этом уроке мы поговорим о прямоугольном параллелепипеде. Вспомним некоторые из его свойств. А затем подробно выведем формулы для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда. Ранее мы с вами уже познакомились с прямоугольным параллелепипедом. Напомним, что параллелепипед называетсяпрямоугольным, если все его шесть граней прямоугольники. Представление о форме прямоугольного параллелепипеда дают спичечный коробок, коробка, холодильник и др. Давайте представим себе, комнату, которая имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Если говорить о её размерах, то обычно употребляют слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трех рёбер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда. На экране изображён прямоугольный параллелепипед качестве его измерений можно взять,например, длины рёбер эти рёбра имеют общую вершину параллелепипеда, – ширина и Прямоугольный параллелепипед обладает следующими свойствами: 1) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. – это есть длина данного. Тогда ребро – его высота. . В и, все 2) объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Итак, справедлива следующая теорема: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Докажем эту теорему. Пусть дан прямоугольный параллелепипед его измерения буквами Докажем, что объём прямоугольного параллелепипеда равен, а его объём буквой. Обозначим и. , . Возможны два случая: Рассмотрим первый случай. Измерения десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит представляют собой конечные и (,). В этом случае числа, и являются целыми. Разделим каждое ребро параллелепипеда на равные части длины. Затем через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Тогда наш параллелепипед разобьётся на равные кубы с длиной каждого ребра. Общее же количество таких кубов будет равно. Так как объём каждого такого куба равен, то объём всего параллелепипеда будет равен. Этим мы доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Что и требовалось доказать. Перейдём ко второму случаю. Хотя бы одно из измерений собой бесконечную десятичную дробь. , и представляет Рассмотрим конечные десятичные дроби чисел с, -ой. , которые получаются из, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная Заметим, что тогда справедливо неравенство Аналогичные неравенства будут выполняться и для чисел, где и: . , где, . Перемножим эти неравенства. Тогда видим, что. Из неравенства понятно, что параллелепипед параллелепипед, а сам содержится в параллелепипеде содержит в себе. А это говорит о том, что. Теперь давайте будем неограниченно увеличивать становиться сколь угодно малым, и поэтому число мало отличаться от числа. . Тогда число будет будет сколь угодно В итоге, они станут равны. Т.е. . Что и требовалось доказать. Из этой теоремы справедливы следующие следствия. Первое следствие. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Доказательство. Пусть грань с рёбрами прямоугольного параллелепипеда. Тогда площадь основания высота параллелепипеда и. является основанием, а Тогда можно заметить, что формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда – площадь основания, – высота прямоугольного параллелепипеда. можно записать в виде, где Таким образом, мы доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен. Что и требовалось доказать. Второе следствие. Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту. Доказательство. Для доказательства этого утверждения достроим прямую треугольную призму с основанием параллелепипеда так, как показано на экране. Учитывая первое следствие, объём этого параллелепипеда равен где – площадь основания) до прямоугольного (, – высота призмы. , разбивает параллелепипед на две равные прямые призмы, одна Плоскость из которых – данная. Эти призмы равны, так как имеют равные основания и равные высоты. Следовательно, объём данной призмы равен, т.е. равен доказать. Замечание. Рассмотрим квадрат со стороной а. . Что и требовалось Исходя из теоремы Пифагора его диагональ равна. Поэтому площадь построенного на ней квадрата вдвое больше площади данного квадрата. Таким образом, не составляет труда построить сторону квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата. Рассмотрим теперь куб со стороной а. Возникает вопрос: можно ли с помощью циркуля и линейки построить сторону куба, объём которого вдвое больше объёма данного куба, т.е. построить отрезок, равный? Эта задача была сформулирована ещё в глубокой древности. Она получила название «задача об удвоении куба». Лишь в 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель доказал, что такое построение невозможно. Одновременно им была доказана неразрешимость ещё одной задачи на построение – задачи о трисекции угла (произвольный данный угол разделить на три равных угла). Напомним, что к числу классических неразрешимых задач на построение относится также задача о квадратуре круга (построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга). Невозможность такого построения была доказана в 1882 году немецким математиком Карлом Луизом Фердинандом Линдеманом. Задача: найдите объём прямоугольного параллелепипеда с диагональю сторонами основания Решение: запишем формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда через его измерения. см и см. см и Из условия задачи нам известны длина, ширина и диагональ прямоугольного параллелепипеда, но неизвестна его высота. Напомним, что. Выразим из этой формулы высоту что высота равна (см). прямоугольного параллелепипеда. Получим, и равна Подставим измерения нашего прямоугольного параллелепипеда в формулу объёма. Посчитаем. Получим, что объем параллелепипеда равен Не забудем записать ответ. (см3). Задача: квадрат. Объем прямоугольного параллелепипеда равен высоту прямоугольного параллелепипеда, если прямоугольный параллелепипед, основание – см3. Определите см. Решение: на этом уроке мы доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен. Выразим из формулы высоту. Отсюда, высота равна. Так как в основании нашего прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат по условию, то площадь основания равна объём прямоугольного параллелепипеда равен (см2). По условию задачи, также известно, что. Отсюда, высота (см). Запишем ответ. равна Итоги: На этом уроке мы вспомнили понятие прямоугольного параллелепипеда. Доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда можно вычислить как произведение площади основания на высоту. А также доказали, что объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

showPlots(;0 noAxes0 );

Рис. 2.1: Два параллелепипеда

2.0.6 Единица объёма.

За единицу объемов при измерении их берут объем такого куба, у которого каждое ребро равно линейной единице. Так, употребительны кубические метры (m3 ), кубические сантиметры (cm3 ) и т.д.

2.1 Объем параллелепипеда.

2.1.1 Теорема об объеме правильного прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

В таком кратком выражении теорему эту надо понимать так: число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда в кубической единице, равно произведению чисел, выражающих три его измерения в соответствующей линейной единице, т.е. в единице, являющейся ребром куба, объем которого принят за кубическую единицу. Так, если x есть число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда в кубических сантиметрах, и a; b и c

числа, выражающие три его измерения в линейных сантиметрах, то теорема утверждает, что x = abc При доказательстве рассмотрим особо следующие три случая: 1) Измерения выражаются целыми числами. Пусть, например, измерения, будут (2.2) AB = a; BC = b и BD = c, где a; b и c какие-нибудь целые числа (например, как изображено у нас на рисунке: a = 4; b = 2 и c = 5). Тогда основание параллелепипеда содержит ab таких квадратов, из которых каждый представляет собой соответствующую квадратную единицу. На каждом из этих квадратов, очевидно, можно поместить по одной кубической единице. Тогда получится слой (изображенный на 2.2), состоящий из ab кубических единиц. Так как высота этого слоя равна одной линейной единице, а высота всего параллелепипеда содержит c таких единиц, то внутри параллелепипеда можно поместить c таких слоев. Следовательно, объем этого параллелепипеда равен abc кубических единиц. 2) Измерения выражаются дробными числами. Пусть измерения параллелепипеда будут:

m n ; p q ; r s

(некоторые из этих дробей могут равняться целому числу). Приведя дроби к одинаковому знаменателю, будем иметь:

mqs ngs ; pns qns; rnq snq:

Примем nqs 1 долю линейной единицы за новую (вспомогательную) едини-

цу длины. Тогда в этой новой единице измерения данного параллелепипеда выразятся целыми числами, а именно:

(mqs) (pns) (rnq);

и потому по доказанному (в случае 1) объем параллелепипеда равен произведению (mqs) (pns) (rnq), если измерять этот объем новой кубической единицей, соответствующей новой линейной единице. Таких кубических еди-

ниц в одной кубической единице, соответствующей прежней линейной едини- q

це, содержится (nqs)3 ; значит, новая кубическая единица составляет (nqs) 3

прежней. Поэтому объем параллелепипеда, выраженный в прежних единицах, равен

3) Измерения выражаются иррациональными числами. Пусть у данного параллелепипеда (2.3), который для краткости мы обозначим одной буквой Q, измерения будут:

AB = ; AC = ; AD = ;

где все числа; и или только некоторые из них иррациональные. Каждое из чисел; и может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби. Возьмем приближенные значения этих дробей с n десятичными знаками сначала с недостатком, а затем с избытком. Значения с недостатком обозначим n ; n ; n значения с избытком n 0 ; n 0 ; n 0 . Отложим на ребре AB, начиная от точки A, два отрезка AB1 = n и AB2 = n 0 . На ребре AC от той же точки A отложим отрезки AC1 = n и AC2 = n 0 и на ребре AD от той же точки отрезки AD1 = n и n 0 . При этом мы будем иметь

AB1 < AB < AB2 ; AC1 < AC < AC2 ; AD1 < AD < AD2 :

Построим теперь два вспомогательных параллелепипеда: один (обозначим его Q1 ) с измерениями AB1 ; AC1 и AD1 и другой (обозначим его Q2 ) с измерениями AB2 ; AC2 и AD2 . Параллелепипед Q1 будет весь помещаться внутри параллелепипеда Q, а параллелепипед Q2 будет содержать внутри себя параллелепипед Q. По доказанному (в случае 2) будем иметь:

Q1 = n n n ; (1)

Q2 = n 0 n 0 n 0 ; (2)

причем объем Q1 < объема Q2 .

Начнем теперь увеличивать число n. Это значит, что мы берем приближенные значения чисел; ; gamma все с большей и большей степенью точности. Посмотрим, как при этом изменяются объемы параллелепипедов Q1

и Q 2 При неограниченном возрастании n объём Q1 , очевидно, увеличивается

и в силу равенства (1) при беспредельном увеличении n имеет своим пре-

делом предел произведения(n ; n ; n ). Объем Q2 , очевидно уменьшается и

в силу равенства (2) имеет пределом предел произведения n 0 ; n 0 ; n 0 . Но из алгебры известно, что оба произведения n ; n ; n и n 0 ; n 0 ; n 0 при неограниченном увеличении п имеют общий предел, который является произведением иррациональных чисел Этот предел мы и принимаем за меру объема параллелепипеда Q: объём Q = . Можно доказать, что определенный таким образом объем удовлетворяет тем условиям, которые установлены для объема. В самом деле, при таком определении объема равные параллелепипеды, очевидно, имеют равные объемы. Следовательно, первое условие выполняется. Разобьем теперь данный параллелепипед Q плоскостью, параллельной его основанию, надвое: Q1 и Q2 (2.4). Тогда будем иметь:

Q1 = AB AC AD;

Q2 = AB AA1 AD;

Q3 = A1 B1 A1 C A1 D1 :

Складывая почленно два последних равенства и замечая, что A1 B1 = AB и A1 D1 = AD, получим объем Q1 + объем Q2 = AB AA1 AD + AB A1 C AD = AB AD(AA1 + A1 C) = AB AD AC, отсюда получаем:

Q1 + Q2 = Q:

Следовательно, и второе условие тоже выполняется, если параллелепипед складывать из двух частей, полученных разрезанием его плоскостью, параллельной одной из граней.

Рис. 2.2: Параллелепипед