Все мы ходим по Земле потому, что она нас притягивает. Если бы Земля не притягивала все находящиеся на ее поверхности тела, то мы, оттолкнувшись от нее, улетели бы в космос. Но этого не происходит, и всем известно о существовании земного притяжения.
Притягиваем ли мы Землю? Притягивает Луна!
А притягиваем ли мы сами к себе Землю? Смешной вопрос, правда? Но давайте разберемся. Вы знаете, что такое приливы и отливы в морях и океанах? Каждый день вода уходит от берегов, неизвестно где шляется несколько часов, а потом, как ни в чем не бывало, возвращается обратно.
Так вот вода в это время находится не неизвестно где, а примерно посредине океана. Там образуется что-то наподобие горы из воды. Невероятно, правда? Вода, которая имеет свойство растекаться, сама не просто стекается, а еще и образует горы. И в этих горах сосредоточена огромная масса воды.
Просто прикиньте весь объем воды, который отходит от берегов во время отливов, и вы поймете, что речь идет о гигантских количествах. Но раз такое происходит, должна же быть какая-то причина. И причина есть. Причина кроется в том, что эту воду притягивает к себе Луна.
Вращаясь вокруг Земли, Луна проходит над океанами и притягивает к себе океанические воды. Луна вращается вокруг Земли, потому что она притягивается Землей. Но, выходит, что она и сама при этом притягивает к себе Землю. Земля, правда, для нее великовата, но ее влияние оказывается достаточным для перемещения воды в океанах.
Сила и закон всемирного тяготения: понятие и формула
А теперь пойдем дальше и подумаем: если два громадных тела, находясь неподалеку, оба притягивают друг друга, не логично ли предположить, что и тела поменьше тоже будут притягивать друг друга? Просто они намного меньше и сила их притяжения будет маленькой?
Оказывается, что такое предположение абсолютно верно. Абсолютно между всеми телами во Вселенной существуют силы притяжения или, другими словами, силы всемирного тяготения.
Первым такое явление обнаружил и сформулировал в виде закона Исаак Ньютон. Закон всемирного тяготения гласит: все тела притягиваются друг к другу, при этом сила их притяжения прямо пропорциональна массе каждого из тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
F = G * (m_1 * m_2) / r^2 ,
где F величина вектора силы притяжения между телами, m_1 и m_2 массы этих тел, r расстояние между телами, G гравитационная постоянная.
Гравитационная постоянная численно равна силе, которая существует между телами массами 1 кг, находящимися на расстоянии 1 метр. Эта величина найдена экспериментально: G=6,67*〖10〗^(-11) Н* м^2⁄〖кг〗^2 .
Возвращаясь к нашему исходному вопросу: «притягиваем ли мы Землю?», мы можем с уверенностью ответить: «да». Согласно третьему закону Ньютона мы притягиваем Землю ровно с такой же силой, с какой Земля притягивает нас. Силу эту можно рассчитать из закона всемирного тяготения.
А согласно второму закону Ньютона воздействие тел друг на друга какой-либо силой выражается в виде придаваемого ими друг другу ускорения. Но придаваемое ускорение зависит от массы тела.
Масса Земли велика, и она придает нам ускорение свободного падения. А наша масса ничтожно мала по сравнению с Землей, и поэтому ускорение, которое мы придаем Земле, практически равно нулю. Именно поэтому мы притягиваемся к Земле и ходим по ней, а не наоборот.
Мы живем на Земле, мы перемещаемся по ее поверхности, как по краю какого-то скалистого утеса, который возвышается над бездонной пропастью. Мы держимся на этом краю пропасти только благодаря тому, что на нас действует сила притяжения Земли ; мы не падаем с земной поверхности только потому, что имеем, как говорят, какую-то определенную весомость. Мы мгновенно слетели бы с этого «утеса» и стремительно полетели бы в бездну пространства, если бы вдруг перестала действовать сила тяжести нашей планеты. Мы бесконечно долго носились бы в бездне мирового пространства, не зная ни верха, ни низа.
Передвижение по Земле
Своим передвижением по Земле мы тоже обязаны наличию силы тяжести. Мы ходим по Земле и непрестанно преодолеваем сопротивление этой силы, ощущая ее действие, как некоторый тяжелый груз на своих ногах. Этот «груз» особенно дает себя знать при подъеме в гору, когда приходится волочить его, словно какие-то тяжелые гири, привешенные к ногам. Он не менее резко сказывается и при спуске с горы, вынуждая нас ускорять шаги. Преодоление силы тяжести при передвижении по Земле. Эти направления – «верх» и «низ» – указывает нам только сила тяжести. Во всех точках земной поверхности она направлена почти к центру Земли. Поэтому, понятия «низ» и «верх» будут диаметрально противоположными для так называемых антиподов, т. е. людей, обитающих на диаметрально противоположных частях поверхности Земли. Например, то направление, которое для живущих в Москве, показывает «низ», для жителей Огненной Земли показывает «верх». Направления, показывающие «низ» для людей, находящихся на полюсе и на экваторе, составляют прямой угол; они перпендикулярны между собой. Вне Земли, при удалении от нее, сила тяжести уменьшается, так как уменьшается сила притяжения (сила притяжения Земли, как и всякого другого мирового тела, распространяется в пространстве неограниченно далеко) и увеличивается центробежная сила, которая уменьшает силу тяжести. Следовательно, чем выше мы будем поднимать какой-нибудь груз, например, на воздушном шаре, тем меньше будет весить этот груз.Центробежная сила Земли
Вследствие суточного вращения возникает центробежная сила Земли . Эта сила всюду на поверхности Земли действует в направлении, перпендикулярном к земной оси и в сторону от нее. Центробежная сила невелика по сравнению с силой притяжения . На экваторе она достигает наибольшей величины. Но и здесь, согласно вычислениям Ньютона, центробежная сила составляет только 1/289 долю силы притяжения. Чем дальше к северу от экватора, тем меньше центробежная сила. На самом полюсе она равна нулю .
Действие центробежной силы Земли.
На некоторой высоте центробежная сила
возрастет настолько, что она будет равна силе притяжения, и сила тяжести сделается сначала равной нулю, а затем, с увеличением расстояния от Земли, примет отрицательное значение и будет непрерывно возрастать, будучи направлена в противоположную сторону по отношению к Земле.
Сила тяжести
Равнодействующая силы притяжения Земли и центробежной силы называется силой тяжести . Сила тяжести во всех точках земной поверхности была бы одинакова, если бы наша совершенно точного и правильного шара, если бы ее масса всюду была одинаковой плотности и, наконец, если не было бы суточного вращения вокруг оси. Но, так как наша Земля не является правильным шаром, не состоит во всех своих частях из пород одинаковой плотности и все время вращается, то, следовательно, сила тяжести в каждой точке земной поверхности несколько различна . Стало быть, в каждой точке земной поверхности величина силы тяжести зависит от величины центробежной силы, уменьшающей силу притяжения, от плотности земных пород и расстояния от центра Земли . Чем больше это расстояние, тем меньше сила тяжести. Радиусы Земли, которые одним своим концом как бы упираются в земной экватор, – самые большие. Радиусы, имеющие своим концом точку Северного или Южного полюса, – наименьшие. Поэтому все тела на экваторе имеют меньшую тяжесть (меньший вес), чем на полюсе. Известно, что на полюсе сила тяжести больше, чем на экваторе, на 1/289 долю . Эту разность тяжести одних и тех же тел на экваторе и на полюсе можно узнать при их взвешивании с помощью пружинных весов. Если же мы будем взвешивать тела на весах с гирями, то этой разности мы не заметим. Весы будут показывать один и тот же вес, как на полюсе, так и на экваторе; гири, как и тела, которые взвешиваются, тоже, конечно, изменятся в весе.
Пружинные весы как способ измерения силы тяжести на экваторе и на полюсе.
Допустим, что корабль с грузом весит в заполярных областях, вблизи полюса, около 289 тысяч тонн. По приходе в порты вблизи экватора корабль с грузом будет весить уже только около 288 тысяч тонн. Таким образом, на экваторе корабль потерял в весе около тысячи тонн.
Все тела держатся на земной поверхности только благодаря тому, что на них действует сила тяжести. Утром, вставая с кровати, вы в состоянии спустить ноги на пол только потому, что эта сила тянет их вниз.
Сила тяжести внутри Земли
Посмотрим, как изменяется сила тяжести внутри Земли . С углублением внутрь Земли сила тяжести непрерывно увеличивается вплоть до некоторой глубины. На глубине около тысячи километров сила тяжести будет иметь максимальное (наибольшее) значение и увеличится по сравнению с ее средней величиной на земной поверхности (9,81 м/сек) приблизительно на пять процентов. При дальнейшем углублении сила тяжести станет непрерывно уменьшаться и в центре Земли будет равна нулю.Предположения относительно вращения Земли
Наша Земля вращаясь делает полный оборот вокруг своей оси в 24 часа. Центробежная сила, как известно, возрастает пропорционально квадрату угловой скорости. Следовательно, если Земля ускорит свое вращение вокруг оси в 17 раз, то центробежная сила увеличится в 17 раз в квадрате, т. е. в 289 раз. В обычных условиях, как уже сказано выше, центробежная сила на экваторе составляет 1/289 долю силы притяжения. При увеличении в 17 раз сила притяжения и центробежная сила делаются равными. Сила тяжести – равнодействующая этих двух сил – при подобном увеличении скорости осевого вращения Земли будет равна нулю.
Значение центробежной силы при вращении Земли.
Эта скорость вращения Земли вокруг оси называется критической, так как при такой скорости вращения нашей планеты все тела на экваторе потеряли бы свою тяжесть. Продолжительность суток в этом критическом случае будет составлять приблизительно 1 час 25 минут. При дальнейшем ускорении вращения Земли все тела (прежде всего на экваторе) сначала потеряют свою весомость, а затем будут отброшены центробежной силой в пространство, а сама Земля этой же силой будет разорвана на части.
Заключение наше было бы правильным, если бы Земля представляла собой абсолютно твердое тело и при ускорении своего вращательного движения не изменила бы своей формы, другими словами, если бы радиус земного экватора сохранил свою величину. Но известно, что при ускорении вращения Земли поверхность ее должна будет претерпеть некоторую деформацию: она станет сжиматься в направлении полюсов и расширяться в направлении экватора; она будет принимать все более и более приплюснутый вид. Длина радиуса земного экватора при этом начнет возрастать и этим увеличивать центробежную силу.
Таким образом, тела на экваторе потеряют свою тяжесть раньше, чем скорость вращения Земли увеличится в 17 раз, и катастрофа с Землей наступит раньше, чем сутки сократят свою продолжительность до 1 часа 25 минут. Иначе говоря, критическая скорость вращения Земли будет несколько меньше, а предельная длина суток несколько больше.
Представьте себе мысленно, что скорость вращения Земли вследствие каких-то неизвестных причин приблизится к критической. Что тогда станет с земными обитателями?
Прежде всего, всюду на Земле сутки будут составлять, например, около двух-трех часов. День и ночь будут сменяться калейдоскопически быстро. Солнце, как в планетарии, очень быстро будет перемещаться по небу, и едва вы успеете проснуться и умыться, как оно уже скроется за горизонтом, и на смену ему наступит ночь. Люди перестанут точно ориентироваться во времени. Никто не будет знать, которое сейчас число месяца и какой день недели. Нормальная человеческая жизнь будет дезорганизована.
Маятниковые часы замедлят свой ход, а затем всюду остановятся. Они ведь ходят потому, что на них действует сила тяжести. Ведь и в нашем быту, когда «ходики» начинают отставать или спешить, то необходимо укорачивать или удлинять их маятник, а то еще и подвешивать к маятнику какой-нибудь дополнительный груз.
Тела на экваторе будут терять свою весомость. В этих воображаемых условиях легко можно будет поднимать очень тяжелые тела. Не составит особого труда взвалить на плечи лошадь, слона или поднять даже целый дом. Птицы потеряют возможность приземляться. Вот кружится над корытом с водой стая воробьев. Они громко чирикают, но не в состоянии спуститься. Брошенная им горсть зерна повисла бы над Землей отдельными зернинками.
Пусть, далее, скорость вращения Земли все более и более приближается к критической. Наша планета сильно деформируется и принимает все более приплюснутый вид. Она уподобляется быстро вращающейся карусели и грозит вот-вот сбросить с себя своих обитателей.
Реки тогда перестанут течь. Они будут представлять собой длинные стоячие болота. Громадные океанские корабли будут еле касаться своими днищами водной глади, подводные лодки не в состоянии будут погрузиться в глубины моря, рыбы и морские животные будут плавать по поверхности морей и океанов, они уже не смогут скрыться в морской пучине. Моряки уже не смогут бросить якорь, они перестанут владеть рулями своих судов, большие и малые корабли будут стоять неподвижно.
Вот еще одна воображаемая картина.
Пассажирский железнодорожный поезд стоит у вокзала. Свисток уже дан; поезд должен отойти. Машинист принял все зависящие от него меры. Кочегар щедро бросает в топку уголь. Крупные искры летят из трубы паровоза. Колеса отчаянно вертятся. Но паровоз стоит неподвижно. Его колеса не касаются рельс, и нет трения между ними. Настанет момент, когда люди не будут иметь возможности спуститься на пол; они прилипнут, как мухи, к потолку.
Пусть скорость вращения Земли все увеличивается. Центробежная сила все более превосходит по своей величине силу притяжения... Тогда люди, животные, предметы домашнего обихода, дома, все находящиеся на Земле предметы, весь животный ее мир будут отброшены в мировое пространство.
От Земли отделится Австралийский материк и колоссальной черной тучей повиснет в пространстве. В глубь безмолвной бездны, прочь от Земли, полетит Африка. В громадное количество сферических капель превратятся воды Индийского океана и тоже полетят в беспредельные дали. Средиземное море, не успев еще превратиться в гигантские скопления капель, всей своей толщей воды отделится от днища, по которому свободно можно будет пройти от Неаполя до Алжира.
Наконец, скорость вращения настолько увеличится, центробежная сила настолько возрастет, что вся Земля разорвется на части.
Однако и этого случиться не может. Скорость вращения Земли, как мы уже говорили выше, не возрастает, а наоборот, даже немного убывает, – правда, настолько мало, что, как мы уже знаем, за 50 тысяч лет продолжительность суток увеличивается всего только на одну секунду. Иначе говоря, Земля теперь вращается с такой скоростью, которая необходима, чтобы под теплотворными, живительными лучами Солнца многие тысячелетия процветал животный и растительный мир нашей планеты.
Значение трения
Посмотрим теперь, какое значение имеет трение и что было бы, если бы оно отсутствовало. Трение, как известно, вредно отражается на нашей одежде: у пальто раньше всего изнашиваются рукава, а у ботинок подошвы, так как рукава и подошвы больше всего подвержены действию трения. Но вообразите себе на минуту, что поверхность нашей планеты была как бы хорошо отполированная, совершенно гладкая, и возможность трения была бы исключена. Могли ли бы мы ходить по такой поверхности? Конечно, нет. Всем известно, что даже по льду и по натертому полу идти очень трудно и приходится остерегаться, чтобы не упасть. А ведь поверхность льда и натертого пола все же обладает некоторым трением.
Сила трения на льду.
Если бы на поверхности Земли исчезла сила трения, то на нашей планете вечно царил бы неописуемый хаос. Если не будет никакого трения, то будет вечно бушевать море и никогда не утихнет буря. Песчаные смерчи не перестанут висеть над Землей, и постоянно будет дуть ветер. Мелодичные звуки рояля, скрипки и страшный рев хищных зверей смешаются и без конца будут распространяться в воздухе.
При отсутствии трения тело, пришедшее в движение, никогда бы не остановилось. По абсолютно гладкой земной поверхности вечно перемешались бы в самых разнообразных направлениях различные тела и предметы. Смешон и трагичен был бы мир Земли, если бы не существовало трения и притяжения Земли.
Класси́ческая тео́рия тяготе́ния Ньютона (Зако́н всемирного тяготе́ния Ньютона) - закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики . Этот закон был открыт Ньютоном около 1666 года. Он гласит, что сила F {\displaystyle F} гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m 1 {\displaystyle m_{1}} и m 2 {\displaystyle m_{2}} , разделёнными расстоянием r {\displaystyle r} , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними - то есть:
F = G ⋅ m 1 ⋅ m 2 r 2 {\displaystyle F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \over r^{2}}}
Здесь G {\displaystyle G} - гравитационная постоянная , равная 6,67408(31)·10 −11 м³/(кг·с²) .
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
✪ Введение в закон всемирного тяготения Ньютона
✪ Закон Всемирного тяготения
✪ физика ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 9 класс
✪ Про Исаака Ньютона (Краткая история)
✪ Урок 60. Закон всемирного тяготения. Гравитационная постоянная
Субтитры
Теперь немного узнаем о тяготении, или гравитации. Как вы знаете, тяготение, особенно в начальном или даже в довольно углубленном курсе физики - это такое понятие, которое можно вычислить и узнать основные параметры, которыми оно обусловлено, но на самом деле тяготение не вполне поддается пониманию. Пусть даже вы знакомы с общей теорией относительности - если вас спросят, что такое тяготение, вы можете ответить: это искривление пространства-времени и тому подобное. Однако все равно трудно получить интуитивное представление, по какой причине два объекта, только лишь потому, что у них есть так называемая масса, притягиваются друг к другу. По крайней мере, для меня это мистика. Отметив это, приступим к рассмотрению понятия о тяготении. Будем делать это, изучая закон всемирного тяготения Ньютона, справедливый для большинства ситуаций. Этот закон гласит: сила взаимного гравитационного притяжения F между двумя материальными точками, обладающими массами m₁ и m₂, равна произведению гравитационной постоянной G на массу первого объекта m₁ и второго объекта m₂, деленному на квадрат расстояния d между ними. Это довольно несложная формула. Попробуем преобразовать ее и посмотрим, нельзя ли получить какие-то хорошо знакомые нам результаты. Используем эту формулу для расчета ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли. Давайте нарисуем сперва Землю. Просто чтобы понимать, о чем мы с вами говорим. Это наша Земля. Допустим, нам надо вычислить гравитационное ускорение, действующее на Сэла, то есть на меня. Вот он я. Попытаемся применить это уравнение для расчета величины ускорения моего падения к центру Земли, или к центру масс Земли. Величина, обозначенная заглавной буквой G - это универсальная гравитационная постоянная. Еще раз: G - это универсальная гравитационная постоянная. Хотя, насколько я знаю, хоть я и не эксперт в этом вопросе, мне кажется, ее значение может меняться, то есть это не настоящая постоянная, и я предполагаю, что при разных измерениях ее величина различается. Но для наших потребностей, а также в большинстве курсов физики, это постоянная, константа, равная 6,67 * 10^(−11) кубических метров, деленных на килограмм на секунду в квадрате. Да, ее размерность выглядит странно, но вам достаточно понять, что это - условные единицы, необходимые, чтобы в результате умножения на массы объектов и деления на квадрат расстояния получить размерность силы - ньютон, или килограмм на метр, деленный на секунду в квадрате. Так что об этих единицах измерения не стоит беспокоиться: просто знайте, что нам придется работать с метрами, секундами и килограммами. Подставим это число в формулу для силы: 6,67 * 10^(−11). Поскольку нам нужно знать ускорение, действующее на Сэла, то m₁ равна массе Сэла, то есть меня. Не хотелось бы разоблачать в этом сюжете, сколько я вешу, так что оставим эту массу переменной, обозначив ms. Вторая масса в уравнении - это масса Земли. Выпишем ее значение, заглянув в Википедию. Итак, масса Земли равна 5,97 * 10^24 килограммов. Да, Земля помассивнее Сэла. Кстати, вес и масса - разные понятия. Итак, сила F равна произведению гравитационной постоянной G на массу ms, затем на массу Земли, и все это делим на квадрат расстояния. Вы можете возразить: какое же расстояние между Землей и тем, что на ней стоит? Ведь если предметы соприкасаются, расстояние равно нулю. Здесь важно понять: расстояние между двумя объектами в данной формуле - это расстояние между их центрами масс. В большинстве случаев центр масс человека расположен примерно в трех футах над поверхностью Земли, если человек не слишком высокий. Как бы там ни было, мой центр масс может находиться на высоте три фута над землей. А где центр масс Земли? Очевидно, в центре Земли. А радиус Земли у нас равен чему? 6371 километр, или примерно 6 миллионов метров. Поскольку высота моего центра масс составляет около одной миллионной расстояния до центра масс Земли, то в данном случае ею можно пренебречь. Тогда расстояние будет равно 6 и так далее, как и все остальные величины, нужно записать его в стандартном виде - 6,371 * 10^6, поскольку 6000 км - это 6 миллионов метров, а миллион - это 10^6. Пишем, округляя все дроби до второго знака после запятой, расстояние равно 6,37 * 10^6 метров. В формуле стоит квадрат расстояния, поэтому возведем все в квадрат. Попробуем теперь упростить. Вначале перемножим величины в числителе и вынесем вперед переменную ms. Тогда сила F равна массе Сэла на всю верхнюю часть, вычислим ее отдельно. Итак, 6,67 умножить на 5,97 равно 39,82. 39,82. Это произведение значащих частей, которое теперь следует умножить на 10 в нужной степени. 10^(−11) и 10^24 имеют одинаковое основание, поэтому для их перемножения достаточно сложить показатели степени. Сложив 24 и −11, получим 13, в итоге имеем 10^13. Найдем знаменатель. Он равен 6,37 в квадрате, умноженное на 10^6 также в квадрате. Как вы помните, если число, записанное в виде степени, возводится в другую степень, то показатели степеней перемножаются, а значит, 10^6 в квадрате равно 10 в степени 6, умноженной на 2, или 10^12. Далее вычислим квадрат числа 6,37 с помощью калькулятора и получим… Возводим 6,37 в квадрат. И это 40,58. 40,58. Осталось разделить 39,82 на 40,58. Делим 39,82 на 40,58, что равняется 0,981. Потом делим 10^13 на 10^12, что равно 10^1, или просто 10. А 0,981, умноженное на 10, это 9,81. После упрощения и несложных расчетов получили, что сила тяготения вблизи поверхности Земли, действующая на Сэла, равна массе Сэла, умноженной на 9,81. Что нам это дает? Можно ли теперь вычислить гравитационное ускорение? Известно, что сила равна произведению массы на ускорение, поэтому и сила тяготения просто равна произведению массы Сэла на гравитационное ускорение, которое принято обозначать строчной буквой g. Итак, с одной стороны, сила притяжения равна числу 9,81, умноженному на массу Сэла. С другой, она же равна массе Сэла на гравитационное ускорение. Разделив обе части равенства на массу Сэла, получим, что коэффициент 9,81 и есть гравитационное ускорение. И если бы мы включили в расчеты полную запись единиц размерности, то, сократив килограммы, увидели бы, что гравитационное ускорение измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате, как и любое ускорение. Также можно заметить, что полученное значение очень близко к тому, которое мы использовали при решении задач о движении брошенного тела: 9,8 метров в секунду в квадрате. Это впечатляет. Решим еще одну короткую задачу на тяготение, потому что у нас осталось пара минут. Предположим, у нас есть другая планета под названием Земля Малышка. Пусть радиус Малышки rS вдвое меньше радиуса Земли rE, и ее масса mS также равна половине массы Земли mE. Чему будет равна сила тяжести, действующая здесь на какой-либо объект, и насколько она меньше силы земного тяготения? Хотя, давайте оставим задачу на следующий раз, потом ее решу. До встречи. Subtitles by the Amara.org community
Свойства ньютоновского тяготения
В ньютоновской теории каждое массивное тело порождает силовое поле притяжения к этому телу, которое называется гравитационным полем . Это поле потенциально , и функция гравитационного потенциала для материальной точки с массой M {\displaystyle M} определяется формулой:
φ (r) = − G M r . {\displaystyle \varphi (r)=-G{\frac {M}{r}}.}В общем случае, когда плотность вещества ρ {\displaystyle \rho } распределена произвольно, удовлетворяет уравнению Пуассона :
Δ φ = − 4 π G ρ (r) . {\displaystyle \Delta \varphi =-4\pi G\rho (r).}Решение этого уравнения записывается в виде:
φ = − G ∫ ρ (r) d V r + C , {\displaystyle \varphi =-G\int {\frac {\rho (r)dV}{r}}+C,}где r {\displaystyle r} - расстояние между элементом объёма d V {\displaystyle dV} и точкой, в которой определяется потенциал φ {\displaystyle \varphi } , C {\displaystyle C} - произвольная постоянная.
Сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой m {\displaystyle m} , связана с потенциалом формулой:
F (r) = − m ∇ φ (r) . {\displaystyle F(r)=-m\nabla \varphi (r).}Сферически симметричное тело создаёт за своими пределами такое же поле, как материальная точка той же массы, расположенная в центре тела.
Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера . В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам . Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений .
Точность закона всемирного тяготения Ньютона
Экспериментальная оценка степени точности закона тяготения Ньютона является одним из подтверждений общей теории относительности . Опыты по измерению квадрупольного взаимодействия вращающегося тела и неподвижной антенны показали , что приращение δ {\displaystyle \delta } в выражении для зависимости ньютоновского потенциала r − (1 + δ) {\displaystyle r^{-(1+\delta)}} на расстояниях нескольких метров находится в пределах (2 , 1 ± 6 , 2) ∗ 10 − 3 {\displaystyle (2,1\pm 6,2)*10^{-3}} . Другие опыты также подтвердили отсутствие модификаций в законе всемирного тяготения .
Закон всемирного тяготения Ньютона в 2007 г. был проверен и на расстояниях, меньших одного сантиметра (от 55 мкм до 9,53 мм). С учетом погрешностей эксперимента в исследованном диапазоне расстояний отклонений от закона Ньютона не обнаружено .
Прецизионные лазерные дальнометрические наблюдения за орбитой Луны подтверждают закон всемирного тяготения на расстоянии от Земли до Луны с точностью 3 ⋅ 10 − 11 {\displaystyle 3\cdot 10^{-11}} .
Связь с геометрией евклидова пространства
Факт равенства с очень высокой точностью 10 − 9 {\displaystyle 10^{-9}} показателя степени расстояния в знаменателе выражения для силы тяготения числу 2 {\displaystyle 2} отражает евклидову природу трёхмерного физического пространства механики Ньютона. В трёхмерном евклидовом пространстве площадь поверхности сферы точно пропорциональна квадрату её радиуса
Исторический очерк
Сама идея всеобщей силы тяготения неоднократно высказывалась и до Ньютона. Ранее о ней размышляли Эпикур , Гассенди , Кеплер , Борелли , Декарт , Роберваль , Гюйгенс и другие . Кеплер полагал, что тяготение обратно пропорционально расстоянию до Солнца и распространяется только в плоскости эклиптики; Декарт считал его результатом вихрей в эфире . Были, впрочем, догадки с правильной зависимостью от расстояния; Ньютон в письме к Галлею упоминает как своих предшественников Буллиальда , Рена и Гука . Но до Ньютона никто не сумел ясно и математически доказательно связать закон тяготения (силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния) и законы движения планет (законы Кеплера).
- закон тяготения;
- закон движения (второй закон Ньютона);
- система методов для математического исследования (математический анализ).
В совокупности эта триада достаточна для полного исследования самых сложных движений небесных тел, тем самым создавая основы небесной механики . До Эйнштейна никаких принципиальных поправок к указанной модели не понадобилось, хотя математический аппарат оказалось необходимым значительно развить.
Отметим, что теория тяготения Ньютона уже не была, строго говоря, гелиоцентрической . Уже в задаче двух тел планета вращается не вокруг Солнца, а вокруг общего центра тяжести, так как не только Солнце притягивает планету, но и планета притягивает Солнце. Наконец, выяснилась необходимость учесть влияние планет друг на друга.
В течение XVIII века закон всемирного тяготения был предметом активной дискуссии (против него выступали сторонники школы Декарта) и тщательных проверок. К концу века стало общепризнано, что закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Генри Кавендиш в 1798 году осуществил прямую проверку справедливости закона тяготения в земных условиях, используя исключительно чувствительные крутильные весы . Важным этапом стало введение Пуассоном в 1813 году понятия гравитационного потенциала и уравнения Пуассона для этого потенциала; эта модель позволяла исследовать гравитационное поле при произвольном распределении вещества . После этого ньютоновский закон стал рассматриваться как фундаментальный закон природы.
В то же время ньютоновская теория содержала ряд трудностей. Главная из них - необъяснимое дальнодействие : сила притяжения передавалась непонятно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс . В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия .
Дальнейшее развитие
Общая теория относительности
На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году , с созданием общей теории относительности Эйнштейна , в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона, в полном согласии с принципом соответствия , оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:
В слабых стационарных гравитационных полях уравнения движения переходят в ньютоновы (гравитационный потенциал). Для доказательства покажем, что скалярный гравитационный потенциал в слабых стационарных гравитационных полях удовлетворяет уравнению Пуассона
Δ Φ = − 4 π G ρ {\displaystyle \Delta \Phi =-4\pi G\rho } .Известно (Гравитационный потенциал), что в этом случае гравитационный потенциал имеет вид:
Φ = − 1 2 c 2 (g 44 + 1) {\displaystyle \Phi =-{\frac {1}{2}}c^{2}(g_{44}+1)} .Найдем компоненту тензора энергии-импульса из уравнений гравитационного поля общей теории относительности:
R i k = − ϰ (T i k − 1 2 g i k T) {\displaystyle R_{ik}=-\varkappa (T_{ik}-{\frac {1}{2}}g_{ik}T)} ,где R i k {\displaystyle R_{ik}} - тензор кривизны . Для мы можем ввести кинетический тензор энергии-импульса ρ u i u k {\displaystyle \rho u_{i}u_{k}} . Пренебрегая величинами порядка u / c {\displaystyle u/c} , можно положить все компоненты T i k {\displaystyle T_{ik}} , кроме T 44 {\displaystyle T_{44}} , равными нулю. Компонента T 44 {\displaystyle T_{44}} равна T 44 = ρ c 2 {\displaystyle T_{44}=\rho c^{2}} и, следовательно T = g i k T i k = g 44 T 44 = − ρ c 2 {\displaystyle T=g^{ik}T_{ik}=g^{44}T_{44}=-\rho c^{2}} . Таким образом, уравнения гравитационного поля принимают вид R 44 = − 1 2 ϰ ρ c 2 {\displaystyle R_{44}=-{\frac {1}{2}}\varkappa \rho c^{2}} . Вследствие формулы
R i k = ∂ Γ i α α ∂ x k − ∂ Γ i k α ∂ x α + Γ i α β Γ k β α − Γ i k α Γ α β β {\displaystyle R_{ik}={\frac {\partial \Gamma _{i\alpha }^{\alpha }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \Gamma _{ik}^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}+\Gamma _{i\alpha }^{\beta }\Gamma _{k\beta }^{\alpha }-\Gamma _{ik}^{\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }}значение компоненты тензора кривизны R 44 {\displaystyle R_{44}} можно взять равным R 44 = − ∂ Γ 44 α ∂ x α {\displaystyle R_{44}=-{\frac {\partial \Gamma _{44}^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}} и так как Γ 44 α ≈ − 1 2 ∂ g 44 ∂ x α {\displaystyle \Gamma _{44}^{\alpha }\approx -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{44}}{\partial x^{\alpha }}}} , R 44 = 1 2 ∑ α ∂ 2 g 44 ∂ x α 2 = 1 2 Δ g 44 = − Δ Φ c 2 {\displaystyle R_{44}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}g_{44}}{\partial x_{\alpha }^{2}}}={\frac {1}{2}}\Delta g_{44}=-{\frac {\Delta \Phi }{c^{2}}}} . Таким образом, приходим к уравнению Пуассона:
Δ Φ = 1 2 ϰ c 4 ρ {\displaystyle \Delta \Phi ={\frac {1}{2}}\varkappa c^{4}\rho } , где ϰ = − 8 π G c 4 {\displaystyle \varkappa =-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}}Квантовая гравитация
Однако и общая теория относительности не является окончательной теорией гравитации, так как неудовлетворительно описывает гравитационные процессы в квантовых масштабах (на расстояниях порядка планковского , около 1,6⋅10 −35 ). Построение непротиворечивой квантовой теории гравитации - одна из важнейших нерешённых задач современной физики.
С точки зрения квантовой гравитации, гравитационное взаимодействие осуществляется путём обмена виртуальными гравитонами между взаимодействующими телами. Согласно принципу неопределенности , энергия виртуального гравитона обратно пропорциональна времени его существования от момента излучения одним телом до момента поглощения другим телом. Время существования пропорционально расстоянию между телами. Таким образом, на малых расстояниях взаимодействующие тела могут обмениваться виртуальными гравитонами с короткими и длинными длинами волн, а на больших расстояниях только длинноволновыми гравитонами. Из этих соображений можно получить закон обратной пропорциональности ньютоновского потенциала от расстояния. Аналогия между законом Ньютона и законом Кулона объясняется тем, что масса гравитона, как и масса
Между любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки
Исаак Ньютон выдвинул предположение, что между любыми телами в природе существуют силы взаимного притяжения. Эти силы называют силами гравитации или силами всемирного тяготения . Сила несмирного тяготения проявляется в космосе, Солнечной системе и на Земле.
Закон всемирного тяготения
Ньютон обобщил законы движения небесных тел и выяснил, что сила \(F \) равна:
\[ F = G \dfrac{m_1 m_2}{R^2} \]
где \(m_1 \) и \(m_2 \) - массы взаимодействующих тел, \(R \) - расстояние между ними, \(G \) - коэффициент пропорциональности, который называется гравитационной постоянной . Численное значение гравитационной постоянной опытным путем определил Кавендиш, измеряя силу взаимодействия между свинцовыми шарами.
Физический смысл гравитационной постоянной вытекает из закона всемирного тяготения. Если \(m_1 = m_2 = 1 \text{кг} \) , \(R = 1 \text{м} \) , то \(G = F \) , т. е. гравитационная постоянная равна силе, с которой притягиваются два тела по 1 кг на расстоянии 1 м.
Численное значение:
\(G = 6,67 \cdot{} 10^{-11} Н \cdot{} м^2/ кг^2 \) .
Силы всемирного тяготения действуют между любыми телами в природе, но ощутимыми они становятся при больших массах (или если хотя бы масса одного из тел велика). Закон же всемирного тяготения выполняется только для материальных точек и шаров (в этом случае за расстояние принимается расстояние между центрами шаров).
Сила тяжести
Частным видом силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле (или к другой планете). Эту силу называют силой тяжести . Под действием этой силы все тела приобретают ускорение свбодного падения.
В соответствии со вторым законом Ньютона \(g = F_Т /m \) , следовательно, \(F_T = mg \) .
Если M – масса Земли, R – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна
\(F = G \dfrac{M}{R^2}m = mg \) .
Сила тяжести всегда направлена к центру Земли. В зависимости от высоты \(h \) над поверхностью Земли и географической широты положения тела ускорение свободного падения приобретает различные значения. На поверхности Земли и в средних широтах ускорение свободного падения равно 9,831 м/с 2 .
Вес тела
В технике и быту широко используется понятие веса тела.
Вес тела обозначается \(P \) . Единица веса - ньютон (Н ). Так как вес равен силе, с которой тело действует на опору, то в соответствии с третьим законом Ньютона по величине вес тела равен силе реакции опоры. Поэтому, чтобы найти вес тела, необходимо определить, чему равна сила реакции опоры.
При этом предполагается, что тело неподвижно относительно опоры или подвеса.
Вес тела и сила тяжести отличаются по своей природе: вес тела является проявлением действия межмолекулярных сил, а сила тяжести имеет гравитационную природу.
Состояние тела, в котором его вес равен нулю, называют невесомостью . Состояние невесомости наблюдается в самолете или космическом корабле при движении с ускорением свободного падения независимо от направления и значения скорости их движения. За пределами земной атмосферы при выключении реактивных двигателей на космический корабль действует только сила всемирного тяготения. Под действием этой силы космический корабль и все тела, находящиеся в нем, движутся с одинаковым ускорением, по¬этому в корабле наблюдается состояние невесомости.
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Когда он пришел к великому результату: одна и та же причина вызывает явления поразительно широкого диапазона - от падения брошенного камня на Землю до движения огромных космических тел. Ньютон нашел эту причину и смог точно выразить ее в виде одной формулы - закона всемирного тяготения.
Так как сила всемирного тяготения сообщает всем телам одно и то же ускорение независимо от их массы, то она должна быть пропорциональна массе того тела, на которое действует:
Но поскольку, например, Земля действует на Луну с силой, пропорциональной массе Луны, то и Луна по третьему закону Ньютона должна действовать на Землю с той же силой. Причем эта сила должна быть пропорциональна массе Земли. Если сила тяготения является действительно универсальной, то со стороны данного тела на любое другое тело должна действовать сила, пропорциональная массе этого другого тела. Следовательно, сила всемирного тяготения должна быть пропорциональна произведению масс взаимодействующих тел. Отсюда вытекает формулировка закона всемирного тяготения.
Определение закона всемирного тяготения
Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
Коэффициент пропорциональности G
называется гравитационной постоянной
.
Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения между двумя материальными точками массой 1 кг каждая, если расстояние между ними равно 1 м. Ведь при m 1 =m 2
=1 кг и R
=1 м получаем G=F
(численно).
Нужно иметь в виду, что закон всемирного тяготения (4.5) как всеобщий закон справедлив для материальных точек. При этом силы гравитационного взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей эти точки (рис.4.2 ). Подобного рода силы называются центральными.
Можно показать, что однородные тела, имеющие форму шара (даже если их нельзя считать материальными точками), также взаимодействуют с силой, определяемой формулой (4.5). В этом случае R - расстояние между центрами шаров. Силы взаимного притяжения лежат на прямой, проходящей через центры шаров. (Такие силы и называются центральными.) Тела, падение которых на Землю мы обычно рассматриваем, имеют размеры, много меньшие, чем земной радиус (R≈6400 км). Такие тела можно, независимо от их формы, рассматривать как материальные точки и определять силу их притяжения к Земле с помощью закона (4.5), имея в виду, что R есть расстояние от данного тела до центра Земли.
Определение гравитационной постоянной
Теперь выясним, как можно найти гравитационную постоянную. Прежде всего заметим, что G имеет определенное наименование. Это обусловлено тем, что единицы (и соответственно наименования) всех величин, входящих в закон всемирного тяготения, уже были установлены ранее. Закон же тяготения дает новую связь между известными величинами с определенными наименованиями единиц. Именно поэтому коэффициент оказывается именованной величиной. Пользуясь формулой закона всемирного тяготения, легко найти наименование единицы гравитационной постоянной в СИ:
Н м 2 /кг 2 =м 3 /(кг с 2).
Для количественного определения G
нужно независимо определить все величины, входящие в закон всемирного тяготения: обе массы, силу и расстояние между телами. Использовать для этого астрономические наблюдения нельзя, так как определить массы планет , Солнца, да и Земли, можно лишь на основе самого закона всемирного тяготения, если значение гравитационной постоянной известно. Опыт должен быть проведен на Земле с телами, массы которых можно измерить на весах.
Трудность состоит в том, что гравитационные силы между телами небольших масс крайне малы. Именно по этой причине мы не замечаем притяжение нашего тела к окружающим предметам и взаимное притяжение предметов друг к другу, хотя гравитационные силы - самые универсальные из всех сил в природе. Два человека массами по 60 кг на расстоянии 1 м друг от друга притягиваются с силой всего лишь порядка 10 -9 Н. Поэтому для измерения гравитационной постоянной нужны достаточно тонкие опыты.
Впервые гравитационная постоянная была измерена английским физиком Г. Кавендишем в 1798 г. с помощью прибора, называемого крутильными весами. Схема крутильных весов показана на рисунке 4.3. На тонкой упругой нити подвешено легкое коромысло с двумя одинаковыми грузиками на концах. Рядом неподвижно закреплены два тяжелых шара. Между грузиками и неподвижными шарами действуют силы тяготения. Под влиянием этих сил коромысло поворачивается и закручивает нить. По углу закручивания можно определить силу притяжения. Для этого нужно только знать упругие свойства нити. Массы тел известны, а расстояние между центрами взаимодействующих тел можно непосредственно измерить.
Из этих опытов было получено следующее значение для гравитационной постоянной:
Лишь в том случае, когда взаимодействуют тела огромных масс (или по крайней мере масса одного из тел очень велика), сила тяготения достигает большой величины. Например, Земля и Луна притягиваются друг к другу с силой F ≈2 10 20 H.
Зависимость ускорения свободного падения тел от географической широты
Одна из причин увеличения ускорения свободного падения при перемещении точки, где находится тело, от экватора к полюсам, состоит в том, что земной шар несколько сплюснут у полюсов и расстояние от центра Земли до ее поверхности у полюсов меньше, чем на экваторе. Другой, более существенной причиной является вращение Земли.
Равенство инертной и гравитационной масс
Самым поразительным свойством гравитационных сил является то, что они сообщают всем телам, независимо от их масс, одно и то же ускорение. Что бы вы сказали о футболисте, удар которого одинаково ускорял бы обыкновенный кожаный мяч и двухпудовую гирю? Каждый скажет, что это невозможно. А вот Земля является именно таким «необыкновенным футболистом» с той только разницей, что действие ее на тела не носит характера кратковременного удара, а продолжается непрерывно миллиарды лет.
Необыкновенное свойство гравитационных сил, как мы уже говорили, объясняется тем, что эти силы пропорциональны массам обоих взаимодействующих тел. Факт этот не может не вызывать удивления, если над ним хорошенько задуматься. Ведь масса тела, которая входит во второй закон Ньютона, определяет инертные свойства тела, т. е. его способность приобретать определенное ускорение под действием данной силы. Эту массу естественно назвать инертной массой
и обозначить через m и
.
Казалось бы, какое отношение она может иметь к способности тел притягивать друг друга? Массу, определяющую способность тел притягиваться друг к другу, следует назвать гравитационной массой
m г
.
Из механики Ньютона совсем не следует, что инертная и гравитационная массы одинаковы, т. е. что
Равенство (4.6) является непосредственным следствием из опыта. Оно означает, что можно говорить просто о массе тела как о количественной мере как инертных, так и гравитационных его свойств.
Закон всемирного тяготения является одним из самых универсальных законов природы. Он справедлив для любых тел, обладающих массой.
Значение закона всемирного тяготения
Но если подойти к этой теме, более кардинально, то выясняется, что закон всемирного тяготения не везде есть возможность его применения. Этот закон нашел свое применение для тел, которые имеют форму шара, его можно использовать для материальных точек, а также он приемлем для шара, имеющего большой радиус, где этот шар может взаимодействовать с телами, гораздо меньшими, чем его размеры.
Как вы уже догадались из информации, предоставленной на этом уроке, что закон всемирного тяготения является основой в изучении небесной механики. А как вы знаете, небесная механика изучает движение планет.
Благодаря этому закону всемирного тяготения, появилась возможность в более точном определении расположения небесных тел и возможность вычисления их траектории.
Но вот для тела и бесконечной плоскости, а также для взаимодействия бесконечного стержня и шара эту формулу применять нельзя.
С помощью этого закона Ньютон смог объяснить не только то, как движутся планеты, но и почему возникают морские приливы и отливы. По истечении времени, благодаря трудам Ньютона, астрономам удалось открыть такие планеты Солнечной системы, как Нептун и Плутон.
Важность открытия закона всемирного тяготения заключается в том, что с его помощью появилась возможность делать прогнозы солнечных и лунных затмений и с точностью рассчитывать движения космических кораблей.
Силы всемирного тяготения являются наиболее универсальными со всех сил природы. Ведь их действие распространяется на взаимодействие между любыми телами, имеющими массу. А как известно, то любое тело обладает массой. Силы тяготения действуют сквозь любые тела, так как для сил тяготения нет приград.
Задача
А теперь, чтобы закрепить знания о законе всемирного тяготения, давайте попробуем рассмотреть и решить интересную задачу. Ракета поднялась на высоту h равную 990 км. Определите, насколько уменьшилась сила тяжести, действующая на ракету на высоте h, по сравнению с силой тяжести mg, действующей на нее у поверхности Земли? Радиус Земли R = 6400 км. Обозначим через m массу ракеты, а через M массу Земли.
На высоте h сила тяжести равняется:
Отсюда вычислим:
Подстановка значение даст результат:
Легенду про то, как Ньютон открыл закон всемирного тяготения, получив яблоком по макушке, придумал Вольтер. Причем сам Вольтер уверял, что эту правдивую историю ему рассказала любимая племянница Ньютона Кэтрин Бартон. Вот только странно, что ни сама племянница, ни ее очень близкий друг Джонатан Свифт, в своих воспоминаниях о Ньютоне про судьбоносное яблоко никогда не упоминали. Кстати и сам Исаак Ньютон, подробно записывая в своих тетрадях результаты экспериментов по поведению разных тел, отмечал только сосуды, наполненные золотом, серебром, свинцом, песком, стеклом водой или пшеницей, ни как ни о яблоке. Впрочем, это не помешало потомкам Ньютона водить экскурсантов по саду в имении Вулсток и показывать им ту самую яблоню, пока ее не сломала буря.
Да, яблоня была, и яблоками наверняка с нее падали, но насколько велика заслуга яблока в деле открытия закона всемирного тяготения?
Споры о яблоке не затихают вот уже 300 лет, так же как и споры о самом законе всемирного тяготения верее о том, кому принадлежит приоритет открытия.ук
Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский, Физика 10 класс